婚姻・離婚による住民税（市県民税）の手続は必要ですか？

特に手続きは必要ありません。
旧姓で送付した納税通知書がある場合も、そのまま納付することができます。
今年の年末調整時(又は今年中の所得について確定申告される時)に、扶養控除やひとり親控除、寡婦控除について申告できる場合があります。